Historia de la geometría

La geometría surgió del estudio de los primeros matemáticos de la historia sobre problemas como las medidas de un campo o de un objeto. En el antiguo Egipto surgió una geometría observacional o empírica que provenía de la observación de los objetos. Esta geometría primigenia más adelante fue reformulada y elaborada por los griegos y es la geometría que hoy conocemos.

En siglo IV a.C. Pitágoras demostró que las diversas leyes arbitrarias e inconexas de la geometría primitiva, se pueden deducir estableciendo un número de axiomas o postulados. Pitágoras elaboró la teoría del famoso teorema de Pitágoras que afirma que el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto).

Los griegos llamaron al estudio que involucra a estos postulados, geometría demostrativa que estudiaba y analizaba polígonos y círculos y de sus correspondientes figuras tridimensionales. Esta geometría fue rigurosamente detallada por el matemático griego Euclides, en su libro “Los elementos”. El texto de Euclides ha servido como libro de texto básico de geometría hasta casi nuestros días.

A principios del siglo XVII en Europa, René Descartes y Pierre Fermat, descubrieron la geometría analítica que relaciona la matemática y el álgebra por medio de correspondencias entre puntos dentro de un plano y números. Además, Descartes y Fermat observaron, que las ecuaciones algebraicas corresponden con figuras geométricas. Eso significa que las líneas y ciertas figuras geométricas se pueden expresar como ecuaciones y, a su vez, las ecuaciones pueden graficarse como líneas o figuras geométricas. Los griegos en su afán racionalista llevaron la geometría a la construcción, planteando que cierta línea o figura debe ser construida utilizando sólo una regla de borde recto y un compás.

Los griegos, y en particular Apolonio de Perga, estudiaron la familia de curvas conocidas como cónicas y descubrieron muchas de sus propiedades fundamentales. Las cónicas son importantes en muchos campos de las ciencias físicas; por ejemplo, las órbitas de los planetas alrededor del Sol son fundamentalmente cónicas.

Arquímedes, uno de los grandes científicos griegos, hizo un considerable número de aportaciones a la geometría. Inventó formas de medir el área de ciertas figuras curvas, así como la superficie y el volumen de sólidos limitados por superficies curvas, como paraboloides y cilindros. También elaboró un método para calcular una aproximación del valor de pi, la proporción entre el diámetro y la circunferencia de un círculo y estableció que este número estaba entre 3 10/70 y 3 10/71.

La geometría avanzó muy poco desde el final de la era griega hasta la edad media. El siguiente paso importante en esta ciencia lo dio el filósofo y matemático francés René Descartes, cuyo tratado "El Discurso del Método", publicado en 1637, hizo época. Este trabajo fraguó una conexión entre la geometría y el álgebra al demostrar cómo aplicar los métodos de una disciplina en la otra. Éste es un fundamento de la geometría analítica, en la que las figuras se representan mediante expresiones algebraicas, sujeto subyacente en la mayor parte de la geometría moderna.

Otro desarrollo importante del siglo XVII fue la investigación de las propiedades de las figuras geométricas que no varían cuando las figuras son proyectadas de un plano a otro.

Un ejemplo sencillo de geometría proyectiva queda ilustrado en la figura 1.

Si los puntos A, B, C y a, b, c se colocan en cualquier posición de una cónica, por ejemplo, una circunferencia, y dichos puntos se unen A con b y c, B con c y a, y C con b y a, los tres puntos de las intersecciones de dichas líneas están en una recta.

De la misma manera, si se dibujan seis tangentes cualesquiera a una cónica, como en la figura 2, y se trazan rectas que unan dos intersecciones opuestas de las tangentes, estas líneas se cortan en un punto único.

 

Algunos términos importantes de la geometría

Axiomas.

En geometría analítica, los axiomas se definen en función de ecuaciones de puntos, basándose en el análisis matemático y el álgebra. Adquiere otro nuevo sentido hablar de puntos, rectas o planos. f(x) puede definir cualquier función, llámese recta, circunferencia, plano, etc.

Puntos.

Los puntos se consideran objetos fundamentales en la geometría euclidiana. Se han definido de diversas formas, incluida la definición de Euclides como "aquello que no tiene parte"​ y mediante el uso de álgebra o conjuntos anidados. ​ En muchas áreas de la geometría, como la geometría analítica, la geometría diferencial y la topología, se considera que todos los objetos se construyen a partir de puntos. Sin embargo, se ha realizado algún estudio de geometría sin referencia a puntos.

Líneas.

Euclides describió una línea como "longitud sin ancho" que "se encuentra igualmente con respecto a los puntos sobre sí misma.​ En las matemáticas modernas, dada la multitud de geometrías, el concepto de línea está estrechamente relacionado con la forma en que se describe la geometría. Por ejemplo, en geometría analítica, una línea en el plano a menudo se define como el conjunto de puntos cuyas coordenadas satisfacen una ecuación lineal dada, pero en un entorno más abstracto, como la geometría de incidencia, una línea puede ser un objeto independiente, distinto del conjunto de puntos que se encuentran en él. ​ En geometría diferencial, una geodésica es una generalización de la noción de línea a espacios curvos.

Planos.

Un plano es una superficie plana bidimensional que se extiende infinitamente. ​ Los planos se utilizan en todas las áreas de la geometría. Por ejemplo, los planos se pueden estudiar como una superficie topológica sin hacer referencia a distancias o ángulos; se puede estudiar como un espacio afín, donde se pueden estudiar la colinealidad y las proporciones pero no las distancias; se puede estudiar como el plano complejo utilizando técnicas de análisis complejo; ​ y así sucesivamente.

Ángulos.

Euclides define un ángulo plano como la inclinación entre sí, en un plano, de dos líneas que se encuentran y no son rectas entre sí. ​En términos modernos, un ángulo es la figura formada por dos rayos de luz, llamados lados del ángulo, que comparten un punto final común, llamado vértice del ángulo.

Superficies.

Una superficie es un objeto bidimensional, como una esfera o un paraboloide. ​ En geometría diferencial​ y topología, las superficies se describen mediante "parches" bidimensionales (o vecindades) que se ensamblan mediante difeomorfismos u homeomorfismos, respectivamente. En geometría algebraica, las superficies se describen mediante ecuaciones polinómicas.

Curvas.

Una curva es un objeto unidimensional que puede ser recto (como una línea) o no; las curvas en el espacio bidimensional se denominan curvas planas y las del espacio tridimensional se denominan curvas espaciales.

En topología, una curva se define mediante una función de un intervalo de los números reales a otro espacio. En geometría diferencial, se usa la misma definición, pero se requiere que la función definitoria sea diferenciable. La geometría algebraica estudia las curvas algebraicas, que se definen como variedades algebraicas de dimensión uno.

Longitud, área y volumen.

La longitud, el área y el volumen describen el tamaño o la extensión de un objeto en una dimensión, dos dimensiones y tres dimensiones, respectivamente. ​

En geometría euclidiana y geometría analítica, la longitud de un segmento de línea a menudo se puede calcular mediante el teorema de Pitágoras.

El área y el volumen pueden definirse como cantidades fundamentales separadas de la longitud, o pueden describirse y calcularse en términos de longitudes en un plano o espacio tridimensional. ​ Los matemáticos han encontrado muchas fórmulas explícitas para el área y fórmulas para el volumen de varios objetos geométricos. En cálculo, el área y el volumen se pueden definir en términos de integrales, como la integral de Riemann o la integral de Lebesgue.

Congruencia y similitud.

La congruencia y la similitud son conceptos que describen cuando dos formas tienen características similares. ​ En la geometría euclidiana, la similitud se usa para describir objetos que tienen la misma forma, mientras que la congruencia se usa para describir objetos que son iguales tanto en tamaño como en forma. Hilbert, en su trabajo sobre la creación de una base más rigurosa para la geometría, trató la congruencia como un término indefinido cuyas propiedades están definidas por axiomas.

La congruencia y la similitud se generalizan en la geometría de transformación, que estudia las propiedades de los objetos geométricos que se conservan mediante diferentes tipos de transformaciones.

Construcciones con compás y regla.

Los geómetras clásicos prestaron especial atención a la construcción de objetos geométricos que se habían descrito de alguna otra manera. Clásicamente, los únicos instrumentos permitidos en las construcciones geométricas son el compás y la regla. Además, cada construcción tenía que completarse en un número finito de pasos. Sin embargo, algunos problemas resultaron difíciles o imposibles de resolver solo por estos medios, y se encontraron ingeniosas construcciones utilizando parábolas y otras curvas, así como dispositivos mecánicos.

 

Algunos ejercicios de geometría

Foro de comentarios

 

Preguntas de retroalimentación y comentarios.

Ya después de indagar en las diferentes entradas de este foro y poder observar un poco sobre el desarrollo de la geometría y algunos elementos fundamentales que completan esta área del gran saber matemático, quisiera hacerles las siguientes preguntas.

1. ¿Qué aprendizaje obtuviste después de indagar por el blog?
2. ¿Cómo consideras que debería ser el proceso de enseñanza aprendizaje en los centros educativos?
3. ¿Cómo docentes o futuros docentes, que elementos toman más en cuenta al momento de hablar sobre la geometría?
4. ¿Consideran que la geometría juega un papel fundamental en el desarrollo del mundo donde vivimos?